针对您提出的问题，如果对方声称之前已经口头协议终止了抚养费支付，这并不会自动影响您现在的法律责任。因为依据《中华人民共和国民法典》及相关法律规定，抚养费的支付是父母的法定义务，口头协议并不能作为免除这一义务的有效依据。除非双方签订了书面协议，并经法院确认或公证，否则不能作为终止抚养费支付的有效证据。因此，对方仍有可能起诉追讨之前的抚养费。
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从法律角度来看，您需要支付对方起诉的抚养费。因为依据《中华人民共和国民法典》及相关法律规定，父母对子女有抚养教育的义务，即使双方已经长时间不联系，也不能免除这一法定义务。如果对方能够提供有效的证据证明您未履行抚养义务，法院很可能会判决您支付相应的抚养费。
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如果对方现在起诉要求支付抚养费，您应该：1. 准备好相关证据，如之前的支付记录、沟通记录等，以证明您的支付情况或双方之前的协商情况；2. 咨询专业律师，了解具体的法律程序和应对策略；3. 根据律师的建议，积极应诉，并尽量通过调解或协商的方式解决争议，以避免法律纠纷的进一步升级。